Invers Fungsi Komposisi : Materi, Contoh 2 Soal dan pembahasan

Daftar Isi

Invers Fungsi Komposisi

Invers fungsi komposisi merupakan invers dari dua atau lebih fungsi yang dikomposisikan baca Komposisi Fungsi pada postingan sebelumnya.

Perhatikan skema komposisi fungsi berikut

Pada skema tersebut, fungsi g : A → B (baca: fungsi g memetakan anggota anggota himpunan A ke anggota anggota himpunan B) dilanjutkan fungsi f : B → C dapat dituliskan sebagai fungsi h : A → C, fungsi h merupakan komposisi dari fungsi g dan f
atau ditulis h = f o g.

Fungsi fungsi terebut memiliki invers sebagai berikut f^–1 : C → B dan g^–1 : B → A sedangkan h^–1 : C → A

Sebelumnya diketahui bahwa fungsi h merupakan komposisi dari fungsi g dan fungsi f sehingga h^–1 = (f o g)^–1 dengan memperhatikan table secara seksama dapat disimpulkan (f o g)^–1 = g^–1 o f ^–1

Contoh Soal dan Pembahasan Invers Fungsi Komposisi

Nomor 1

Suatu fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = 7 – 2x dan g(x) = x + 3 memiliki invers. Nilai (f o g)^–1 (2) adalah….

$\begin{matrix}A.\;\;2\\\;\;\;\;B.\;\;-1\\C.\;\;0\\D.\;\;\frac{1}{2}\\\;\;\;\;E.\;\;-\frac{1}{2}\\\end{matrix}$

Pembahasan

Langkah pertama komposisikan dulu fungsinya atau cari dulu (f o g)(x)

(f o g)(x) = f(g(x))

Maka

f(x) = 7 – 2x

f(g(x)) = 7 – 2(g(x))

(f o g) (x) = 7 – 2(x+3) = 7 – 2x – 6 = 1 – 2x

Selanjutnya tentukan (f o g)^–1 (x)

Pertama misalkan (f o g)(x) = y

y = 1 – 2x

2x = 1 – y

x = ½(1 – y) kemudian ubah dalam (f o g)^–1 (x)

(f o g)^–1 (x) = ½(1 – x)

Langkah terahir kita hitung nilai (f o g)^–1 (2) dengan mensubtitusi x dengan angka 2 pada persamaan (f o g)^–1 (x) = ½(1 – x)

(f o g)^–1 (x) = ½(1 – x)

(f o g)^–1 (2) = ½(1 – 2) = ½(-1) = -½

Jawaban E

Nomor 2

Diketahui $f(x)=\frac{x-1}{x+1}\;dan\;g(x)=3x$ . Invers (f o g)(x) adalah $(f\circ g)^{-1}(x)=....$

$a.\;\frac{x+1}{3(x-1)},\;x\neq 1$

$b.\;\frac{x+1}{1-3x},\;x\neq\frac{1}{3}$

$c.\;\frac{x+1}{3-3x},\;x\neq1$

$d.\;\frac{x-1}{3x-3},\;x\neq1$

$e.\;\frac{x-1}{3x=3},\;x\neq-1$

Pembahasan

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$(f\circ g)(x)=\frac{g(x)-1}{g(x)+1}$
$(f\circ g)(x)=\frac{3x-1}{3x+1}$

untuk mencari invers, mari kita misalkan (fog)(x) = y

$y=\frac{3x-1}{3x+1}$
$y\left(3x+1\right)=3x-1$
$3xy+y=3x-1$
$3xy-3x=-y-1$
$x=\frac{-y-1}{3y-3}$
$(f\circ g)^{-1}(x)=\frac{-x-1}{3x-3}$
$(f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x+1}{3-3x},\;x\neq1$

jawaban C

Cara kreatif mencari invers

Nomor 3

Diketahui f(x) = x² + 4x – 3 dan g(x) = x – 3, invers fungsi komposisi (f o g)(x) adalah….

$\begin{matrix}A.\;\;(f\circ g)^{-1}(x)=1\pm\sqrt{x+7}\;\;\\B.\;\;(f\circ g)^{-1}(x)=3\pm\sqrt{x-6}\;\;\\C.\;\;(f\circ g)^{-1}(x)=-2\pm\sqrt{x+5}\\D.\;\;(f\circ g)^{-1}(x)=-1\pm\sqrt{x-4}\\E.\;\;(f\circ g)^{-1}(x)=2\pm\sqrt{x+3}\;\;\;\\\end{matrix}$

Pembahasan

$\begin{matrix}(f\circ g)(x)=f(g(x))\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x-3)^2+4(x-3)-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2-6x+9+4x-12-3\\\;\;=x^2-2x-6\\\end{matrix}$

Misalkan (f o g)(x) = y

$\begin{matrix}x^2-2x-6=y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\x^2-2x=y+6\\x^2-2x+1=y+6+1\\(x-1)^2=y+7\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-1=\pm\sqrt{y+7}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=1\pm\sqrt{y+7}\\\end{matrix}$

Kembalikan ke fungsi x, sehingga diperoleh

$(f\circ g)^{-1}(x)=1\pm\sqrt{x+7}$

Jawaban A

Nomor 4

Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = x² – 3x – 4 dan g(x) = x – 3. Jika (f o g)^–1 (a) = 3 maka nilai a adalah….

A 20

B 21

C 22

D 23

E 24

Pembahasan

$\begin{matrix}(f\circ g)(x)=(2x+1)^2-3(2x+1)-4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;=4x^2+4x+1-6x-3-4\\=4x^2-2x-6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\end{matrix}$

selanjutnya dicari invers fungsi komposisinya

$\begin{matrix}4x^2-2x-6=y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\4x^2-2x=y+6\\\;\;\;\;x^2-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}y+\frac{6}{4}\\\;\;\;\;x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}y+\frac{6}{4}+\frac{1}{16}\\\;\;\;\;\;\;(x-\frac{1}{4})^2=\frac{4}{16}y+\frac{25}{16}\\\end{matrix}$
$\begin{matrix}x-\frac{1}{4}=\pm\sqrt{\frac{4y+25}{16}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{4y+25}{16}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{4y+25}\\(f\circ g)^{-1}(x)=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{4x+25}\;\;\\\\\end{matrix}$

setelah itu tentukan nilai a untuk (f o g)^–1 (a) = 3

$\begin{matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(f\circ g)^{-1}(x)=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{4x+25}\\(f\circ g)^{-1}(a)=3\\\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{4a+25}=3\;\;\;\;\;\\1\pm\sqrt{4a+25}=12\;\\\;\;\pm\sqrt{4a+25}=11\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4a+25=121\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4a=96\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a=24\\\end{matrix}$

Cara Alternatif (RH Solutions)

$\begin{matrix}(f\circ g)^{-1}(a)=3\;\;\;\;\\(f\circ g)(3)=a\\\end{matrix}$

subtitusi 3 ke fungsi g

$\begin{matrix}g(x)=2x+1\;\;\;\;\;\;\;\\g(3)=2.3+1=7\\\end{matrix}$

subtitusi nilai g(3) ke fungsi f

$\begin{matrix}f(x)=x^2-3x-4\;\;\;\;\\f(g(3))=7^2-3.7-4=24\\jadi\\a=(f\circ g)(3)=f(g(3))=24\\\end{matrix}$

Jawaban E

Demikian paparan materi invers fungsi komposisi beserta contoh soal dan pembahasannya dapat dijadikan referensi belajar. Untuk mempelajari aplikasi komposisi fungsi dapat sahabat pintar kunjungi link link berikut:

Materi Dasar Komposisi Fungsi Beserta Contoh dan Pembahasannya
Soal Soal Aplikasi (Cerita) Komposisi Fungsi dan Pembahasannya Untuk Persiapan Penalaran Matematika UTBK

Lebih banyak pembahasan soal-soal Matematika Kelas XI dapat anda baca dan

kunjungi kak RH YT Channel : taklukan soal UTBK untuk belajar hal hal menarik lainnya

Semoga bermanfaat.

Invers Fungsi Komposisi

Contoh Soal dan Pembahasan Invers Fungsi Komposisi

Sebarkan ini:

Posting terkait: