Permutasi dan Kombinasi: Pengertian, Rumus, 10 Soal Prediksi Ulangan, Contoh Soal dan Pembahasan

Permutasi dan kombinasi merupakan materi pokok yang sangat penting sebagai dasar penguasaan materi peluang kejadian. Teman teman pintarmatematika, mari simak bersama materi dan contoh soalnya

Daftar Isi

Pengertian Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari sejumlah unsur yang diambil dari sebagian maupun seluruh unsur.

Kombinasi merupakan suatu tindakan menggabungkan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan nilai dari unsur yang tersedia.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Berdasar definisinya masing-masing, disimpulkan bahwa permutasi menyusun dengan urutan, sedangkan kombinasi menggabungkan tanpa memperhatikan urutan.

Contoh sederhana dari Permutasi dan Kombinasi

Pada pemilihan pengurus harian RT, akan dipilih ketua, sekertaris dan bendahara dari 10 calon. Berapa banyak seluruh kemungkinan susunan pengurus harian RT?

Analisa:

Pada kasus tersebut, terdapat ukuran nilai yang berbeda dalam menusun kelompok kelompok yang mungkin yaitu berdasar ketua, sekertaris kemudian bendahara. Dengan kata lain kasus ini mementingkan urutan, sehingga merupakan kasus permutasi.

Mari kita bandingkan dengan contoh kasus kombinasi

Dari 15 orang yang mendaftar lomba memasukan batu ke dalam botol, akan di kelompokan menjadi beberapa kelompok yang terdiri tiga orang. Berapa banyak seluruh kemungkinan susunan kelompok yang dapat dibentuk?

Analisa:

Pada kasus ini, kelompok peserta lomba tidak membedakan urutan (ketua, sekertaris maupun bendahara) sehingga mereka setara antar setiap anggota yang digabungkan menjadi kelompok sehingga kasus ini merupakan kasus kombinasi.

Permutasi Unsur Berbeda

Susunan berbeda terdiri dari r unsur yang dibentuk dari n unsur berbeda biasa ditulis $P_{n}^{r}$ atau $_{n}\textrm{P}_r$ atau $P_{(n,r)}$ dengan r < n
Permutasi di rumuskan dengan $P_{(n,r)}=\frac{n!}{(n-r)!}$
Contoh
Nilai dari $P_{2}^{6}$ adalah….
Pembahasan
$\begin{matrix}P_{2}^{6}=\frac{6!}{(6-2)!}\;\;\;\;\\\\=\frac{6.5.4!}{4!}\\\\=6.5\;\;\\=30\;\;\;\\\end{matrix}$
Pada pemilihan pengurus harian RT, akan dipilih ketua, sekertaris dan bendahara dari 10 calon. Berapa banyak seluruh kemungkinan susunan pengurus harian RT?
Diketahui n = 10 dan r = 3 (ketua, skertaris dan bendahara)
Penyelesaian
$\begin{matrix}P_{3}^{10}=\frac{10!}{(10-3)!}\;\;\;\;\;\;\;\\\\=\frac{10.9.8.7!}{7!}\\\\=10.9.8\;\\=720\;\;\;\;\;\\\end{matrix}$
Jadi terdapat 720 kemungkinan susunan pengurus RT.

Permutasi dengan beberapa unsur sama

Permutasi dengan beberapa unsur sama adalah menyusun kumpulan objek yang memiliki unsur yang sama atau identik, dengan memperhatikan urutannya dengan masing masing objek sejenis tetap dalam kelompoknya.
Banyak cara menyusun n unsur objek terdiri dari beberapa kelompok a, b, c,…d yang memiliki anggota identik dapat ditulis sebagai
$P_{(a,b,c,...,d)}^{n}=\frac{n!}{a!\times b!\times c!\times...\times d!}$
Dengan a, b, c, d jumlah anggota identik atau sama
Contoh
Berapa banyak cara 4 buku Bahasa Arab, 3 buku Bahasa Cina dan 5 buku Bahasa Jepang dapat disusun berderet dalam sebuah rak jika buku buku dengan Bahasa yang sama harus dalam kelompok yang sama?
Pembahasan
Diketahui
n = 4 + 3 + 5 = 12
a = 4
b = 3
c = 5
banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{matrix}P_{(4,3,5)}^{12}=\frac{12!}{4!\times 3!\times 5!}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{4.3.2.1\times 3.2.1\times 5.4.3.2.1}\\\\=41580\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\end{matrix}$

Permutasi Siklis

Permutasi siklis diikenal sebagai permutasi melingkar atau permutasi sirkuler . Menurut Munir (2005), permutasi siklis adalah penyusunan objek-objek yang mengelilingi sebuah lingkaran atau daerah tertutup sederhana.
Secara umum permutasi siklis dari n unsur ditentukan oleh
$P_s=(n-1)!$

Contoh soal permutasi siklis

1. Terdapat 5 sahabat yang sudah lama tidak bertemu, mereka mengadakan reuni dan makan bersama. Ada berapa cara mereka duduk mengelilingi sebuah meja?
Pembahasan
Diketahui n = 5
Maka
$\begin{matrix}P_s=(n-1)!\\P_s=(5-1)!\\=4!\;\;\;\;\\=24\;\;\;\\\end{matrix}$
Jadi terdapar 24 cara/posisi duduk yang mungkin.

2. 6 orang perwakilan team pada perlombaan Tarik tambang mengikuti technical meeting duduk mengelilingi pembicara. Apabila perwakilan team 1 dan team 2 harus selalu berdampingan, ada berapa cara susunan posisi duduk yang mungkin?

Pembahasan
Terdapat 2 orang yang selalu bersama sehingga P2 = 2! cara/ posisi mereka duduk.
Karena 2 orang selalu bersama, dimisalahkan sebagai satu kelompok sehingga n = 6 – 1 = 5
Maka
$\begin{matrix}P_s=(5-1)!\\=4!\;\;\;\;\\=24\;\;\;\\\end{matrix}$
Jadi banyaknya posisi/cara duduk para perwakilan team adalah
P2  Ps = 2  24 = 48

Kombinasi

Seperti sudah disinggung di atas, Kombinasi merupakan suatu tindakan menggabungkan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan nilai dari unsur yang tersedia, jadi dalam menggabungkan unsur unsur dari sumber yang tersedia, tidak memperhatikan posisi relatif satu sama lain.
Rumus kombinasi

$C_r^n=\frac{n!}{(n-r)!\;r!}$

Contoh
1. Nilai dari $C_2^8=$ adalah….

Pembahasan
$\begin{matrix}C_2^8=\frac{8!}{(8-2)!\;2!}\;\\\\=\frac{8.7.6!}{6!\;2!}\\\\=28\;\;\;\\\end{matrix}$

2. Dari 15 orang yang mendaftar lomba memasukan batu ke dalam botol, akan di kelompokan menjadi beberapa kelompok yang terdiri tiga orang. Berapa banyak seluruh kemungkinan susunan kelompok yang dapat dibentuk?

Pembahasan
Diketahui n = 15, r = 3
Maka
$\begin{matrix}C_3^15=\frac{15!}{(15-3)!\;3!}\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;=\frac{15.14.13.12!}{12!\;3!}\\\\=455\;\\\end{matrix}$

Latihan Mandiri

1. Seorang satpam bank ingin mencetak nomor antrian nasabah yang terdiri dari tiga angka. Jika nomor antrian tersebut tidak memuat angka yang sama yang dibentuk dari angka 3,4,5,6. Banyak pilihan nomor antrian yang dapat dibuat adalah….

2. Pada pelaksanaan perayaan hari ulang tahun SMA Darmo, para siswa mengadakan pemilihan ketua, sekretaris dan bendahara. Setelah melakukan seleksi, terdapat 5 siswa yang mencalonkan diri. Banyak kemungkinan susunan pengurus yang mungkin adalah….

3. Sebuah wadah mainan berisi 6 bola putih, 4 bola biru dan 3 bola merah. Seorang anak akan mengambil tiga bola dari wadah tersebut. Kemungkinan terambil ketiganya berwarna putih adalah…

720 cara
360 cara
120 cara
60 cara
20 cara

4. Pak Francis berada di pasar hewan, dia akan membeli 3 ekor sapi, 4 ekor kambing jantan dan 5 ekor kambing betina. Seorang pedagang mempunyai 6 ekor sapi, 6 ekor kambing jantan dan 8 ekor kambing betina. Banyak kemungkinan pilihan hewan yang akan dibeli pak Francis adalah….

16800
9000
300
120
91

5. Sebuah kantong berisi 6 kelereng biru dan 7 kelereng merah. Dari dalam kotak diambil 4 kelereng sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 3 kelereng merah adalah … cara

*******

Lebih banyak pembahasan soal-soal Persiapan UTBK (Penalaran Matematika) dapat anda baca,

kunjungi kak RH YT Channel : taklukan soal UTBK untuk belajar hal hal menarik lainnya